从惊讶到思考

作者: 云顶娱乐官网下载  发布:2019-10-15

4.电梯悖论

M:人们乘坐电梯往往为另一个奇怪的概率悖论而感到迷惑不解。我们假定在这幢大搂里,电梯运行是独立的(即与任何人无关),在每层楼停留的时间均等。

M:高先生的办公室靠近顶层,他非常恼火。

高:真见鬼,我等乘电梯下楼已经等了五分钟了,所有停下的电梯都是要上楼的。老是这样。

高:说不定他们是在底层做好电梯,待电梯升到顶层时,再将它从房顶用直升飞机运走呢!

M:艾小姐在接近底层的办公室工作。她每天要到顶层的餐厅吃午饭。她也很恼火。

艾:我真不明白。不管我什么时候等电梯,停下的电梯多数是要下楼。

艾:他们肯定是先把电梯弄到顶层,然后把它打发到地下室存起来了。

M:用一个简单的图可以排除这团迷雾。对于高先生而言,电梯间里只有上端黑色区中的电梯才下楼。这个区比阴影区小,因此电梯在他那层楼从下面往上跑的概率要高得多。你现在看得出,在艾小姐的情况下这一推论同样起作用了吧?

电梯悖论首先出现在一本物理学家乔治·伽摩和他的朋友马文·斯特恩写的书——《数学之谜》中。在用一个电梯说明这个悖论时,就象我们前面那样,伽摩和斯特恩犯了一个小错误。他们认为,如果电梯不止一架,概率“自然还是同样的”。

斯坦福大学的计算机科学家首先认识到这个错误。他在1969年7月的《娱乐数学杂志》上写了一篇文章“伽摩—斯特恩电梯问题”。他指出,当电梯增加后,在任何一层碰到电梯上楼和下楼的概率都接近1/2。

这种情况在一定程度上是比原来的悖论更令人感到矛盾了。这意味着,如果你在接近顶层等电梯,并只注意其中一个电梯门的话,那么将要到的那台电梯可能上楼的概率较高。可是,如果不管那个电梯间的电梯都可以上,则将要到达的那台电梯上、下楼的概率就不问了。这个概率在电梯数目接近无限时就接近于1/2。停在接近底层的电梯可能下楼的概率也是同样的。

自然,我们假定电梯的运行彼此无关,它们的速度相等,且在每层楼的平均等待时间相等。如果电梯只有少数几台,则概率稍有偏离。但如果有20台,则对所有各层来讲,上、下楼的概率就非常接近1/2了,自然最顶层和最底层除外。

第二章 概率论悖论

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近来,几乎没有一个数学教师不知道概率对生活的重要,按约瑟夫·巴特勒的说法,概率是“生活的真正指南”,正如它是现代科学的每一学科的指南一样。可以肯定地预言,几年以后大学的数学学生将要学习更多的概率论,包括它在科学、技术和政府中的无限应用。

最近一本较为成功的普通数学教科书——哈洛尔德·雅可比的《数学—人类的魄力》就有很长篇幅介绍初等概率论。学生阅读这些材料,或者其他著名教科书中的同样内容,将会充实地阅读本书所需的真知灼见的背景知识,还可以向他提供充分理解本书内容所需的一切资料。

我们相信还没有深入学习概率论的学生在看了此书之后将被激起学习概率论的强烈愿望。在数学中没有任何一个其他分支有这么多例子能说明直觉会得出错误的结论,而正确的解答又与常识矛盾。当一个学生看到一个概率悖论时,他的第一个反应是不相信。他的第二个反应几乎肯定是想要清除疑云迷雾。自然,要是不学一点概率论这肯定是办不到的。

在本书中,我们除选取了一些基本问题之外,还选了一些与读者的经验最接近,最能引起兴趣的问题。用扑克牌和骰子做的简单游戏特别有吸引力。相反,我们避免了如量子力学这类科学领域的问题,这些东西尽管也充满悖论.可是它们远远超出了一般中学生的理解能力。

我们还力图尽可能清楚地作出每一个解答。这往往要列举一切可能的情况,使人们毫不怀疑解答的正确性。这类问题有很多都可以用公式或代数方法简便解出。不过,对于初学的学生,用较笨的方法解问题不仅容易些,而且还有助于深入体察问题的结构。一个已发生兴趣的学生将会找到时间来学会如何用更高明的方法解这类问题。

这本小册子的主要目的,是帮助你用小故事作阶梯来引导学生深入到概率论较深奥的内容中去。我们已努力写入尽可能多的背景知识,它们一则对课堂讨论有用,二则预先提出了  一些较机灵的学生可能提出的问题。我们还附加了一些其他的与画片很接近的悖论,我们相信它同样有意思。

我们还花了一定力量建立很多使用扑克和硬币的悖论范例。这样问题就可按这种游戏来阐明,而不需要昂贵的教学设施。我们希望读者能发现这些问题的艰深。其中有些涉及到人们不了解的赌博游戏,这种游戏可能是激发起学生兴趣的基础。

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